Dlaczego przy mnożeniu nie trzeba wspólnego mianownika, skoro przy dodawaniu trzeba?

Bo to dwa różne pytania. Dodawanie pyta „ile tego razem” — a żeby cokolwiek zsumować, kawałki muszą być tej samej wielkości, stąd wspólny mianownik. Mnożenie pyta „ile to jest część czegoś”: 1/2 · 1/3 to połowa z jednej trzeciej. Niczego nie sumujemy, tylko kroimy gotowy kawałek jeszcze raz — i wtedy mianowniki mogą być zupełnie różne.

Dziecko nie wierzy, że po pomnożeniu wychodzi mniej. Jak to pokazać?

Kartką. Złóżcie ją na trzy części i zamalujcie jedną — to 1/3. Teraz złóżcie tę samą kartkę na pół w drugą stronę: zamalowany kawałek rozpadł się na dwa mniejsze, a cała kartka na sześć, więc zostaje 1/6. Zdanie, które warto powiedzieć zamiast wzoru: mnożenie przez liczbę mniejszą od jedynki nie powiększa, tylko bierze część — tak jak połowa pensji to mniej niż pensja.

Skąd wiadomo, że zadanie o dwóch trzecich z 12 jajek to mnożenie?

Bo słówko „z” jest tu ukrytym znakiem mnożenia: dwie trzecie z 12 zapisujemy 2/3 · 12. Warto to nazwać wprost, bo dziecko, które świetnie mnoży ułamki na tabliczce, potrafi stanąć nad zadaniem tekstowym tylko dlatego, że nikt mu nie powiedział, iż „z” znaczy „razy”.

Mnożenie ułamków zwykłych

około 12 minut

W tej lekcji1/11

Hej! Mam dziś dla Ciebie niespodziankę. Wczoraj w lodówce została jedna trzecia tabliczki czekolady. Przyszedł brat i zjadł POŁOWĘ tego, co zostało. Ile czekolady zniknęło w jego brzuchu? Żeby to policzyć, trzeba pomnożyć ułamek przez ułamek — i tu właśnie czeka niespodzianka: to jest NAJŁATWIEJSZE działanie na ułamkach. Łatwiejsze niż dodawanie! Nie wierzysz? Patrz.

Co to w ogóle znaczy: połowa jednej trzeciej?

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ czytamy: połowa z jednej trzeciej. Dokładnie jak z czekoladą: brat wziął połowę kawałka, który sam był jedną trzecią tabliczki.

1/3 tabliczki

1/6 — połowa jednej trzeciej

Spójrz na paski. Górny pasek to tabliczka podzielona na 3 części — zamalowana jest $\frac{1}{3}$ , czyli to, co zostało w lodówce. Teraz każdą trzecią część kroimy na pół — cała tabliczka rozpada się na 6 kawałeczków. Połowa jednej trzeciej to dokładnie jeden taki kawałeczek z sześciu:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Brat zjadł więc $\frac{1}{6}$ całej tabliczki. Mnożenie ułamków to branie części z części — dlatego kawałki robią się coraz drobniejsze.

Reguła-niespodzianka: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik

Pamiętasz, ile pracy było przy dodawaniu ułamków? Szukanie wspólnego mianownika, rozszerzanie… Przy mnożeniu nic z tego nie jest potrzebne:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$

Mnożymy licznik razy licznik i mianownik razy mianownik. Koniec. Mianowniki mogą być zupełnie różne — nie przeszkadza to ani trochę:

Działanie	Czy potrzebny wspólny mianownik?
dodawanie	tak
odejmowanie	tak
mnożenie	nie!

Druga niespodzianka: mnożenie potrafi zmniejszać

I jeszcze jedna niespodzianka. Zwykle myślimy: mnożenie powiększa. A tu $\frac{1}{6}$ jest mniejsze i od $\frac{1}{2}$ , i od $\frac{1}{3}$ ! To nie błąd: mnożąc przez ułamek właściwy (mniejszy od 1), bierzemy tylko część czegoś — więc wynik musi być mniejszy. Połowa kawałka czekolady to mniej niż cały kawałek.

1/2

1/3

1/6 — wynik mnożenia jest najmniejszy

Sprytny trik: skracaj, ZANIM pomnożysz

1
Zadanie: pomnóż trzy ósme przez cztery dziewiąte. Można od razu: trzy razy cztery to 12, osiem razy dziewięć to 72 — ale potem trzeba mozolnie skracać 12/72. Jest sprytniej!
$\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{9}$
2
Przy mnożeniu wolno skracać NA KRZYŻ: licznik jednego ułamka ze skosa z mianownikiem drugiego. Trójka i dziewiątka dzielą się przez 3 — z trójki zostaje 1, z dziewiątki 3.
$\frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3}$
3
Druga para na krzyż: czwórka i ósemka dzielą się przez 4 — z czwórki zostaje 1, z ósemki 2.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$
4
Teraz mnożenie to pestka: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik.
$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$
5
Sprawdzenie: bez skracania wyszłoby 12/72, a po podzieleniu góry i dołu przez 12 — też 1/6. Ten sam wynik, tylko dużo więcej liczenia.
$\frac{12}{72} = \frac{12 : 12}{72 : 12} = \frac{1}{6}$
Wskazówka
Skracaj przed mnożeniem — małe liczby to mniej pracy i mniej okazji do pomyłki.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Pomnóż ułamki. Wpisz wynik:

\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7}

Pułapka! Mnożenie na krzyż

Przy porównywaniu ułamków mnożyło się na krzyż — i niektórym zostaje to w palcach także przy mnożeniu. Wygląda to tak:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \ne \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4}$

Dlaczego to musi być błąd? Sprawdź na połowie: policzmy tak połowę połowy.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ na krzyż dałoby $\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$ . Czyli połowa połowy czekolady to… cała tabliczka?! Absurd — połowa połowy to ćwiartka: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .

Skracać na krzyż wolno, mnożyć na krzyż — nigdy

Poprawnie liczymy zawsze prosto, piętrami: $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$ .

Ułamek liczby: dwie trzecie z 12

1
Zadanie: w pudełku jest 12 jajek. Do ciasta zużyliśmy dwie trzecie z nich. Ile jajek poszło do ciasta? Słowo Z oznacza tu mnożenie.
$\frac{2}{3} \cdot 12$
2
Liczbę naturalną można zapisać jako ułamek z mianownikiem 1 — dwanaście to dwanaście jedynek… znaczy: dwanaście całości.
$\frac{2}{3} \cdot \frac{12}{1}$
3
Skracamy na krzyż: 12 i 3 dzielą się przez 3 — z dwunastki zostaje 4, z trójki 1.
$\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{1}$
4
Mnożymy piętrami i gotowe: do ciasta poszło 8 jajek.
$\frac{2 \cdot 4}{1 \cdot 1} = \frac{8}{1} = 8$
5
Sprawdzenie zdrowym rozsądkiem: jedna trzecia z 12 jajek to 4 (bo 12 dzielone na 3 równe grupki), a dwie trzecie to dwa razy tyle — czyli 8. Zgadza się!
$12 : 3 = 4, \quad 2 \cdot 4 = 8$
Wskazówka
Ułamek liczby to zwykłe mnożenie. A wynik 8 jest mniejszy od 12 — bo wzięliśmy tylko część jajek.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Pomnóż, skracając na krzyż przed mnożeniem. Podaj wynik w postaci nieskracalnej:

\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{10}

Ściąga do zapamiętania

Jak mnożymy ułamki zwykłe i dlaczego wynik bywa mniejszy od obu czynników?

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ — licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. Wspólny mianownik nie jest tu potrzebny: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ .
• Przed mnożeniem warto skracać na krzyż: $\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ , bez skracania trzeba by upraszczać $\frac{12}{72}$ .
• Ułamek z liczby to zwykłe mnożenie: $\frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ , bo liczbę naturalną zapisujesz jako $\frac{12}{1}$ .
• Mnożenie przez ułamek właściwy zmniejsza wynik — bierzesz część czegoś, a nie całość.
• Pułapka: mnożenie na krzyż. Dla $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ dałoby $1$ , a połowa połowy to $\frac{1}{4}$ . Na krzyż idą nożyczki, czyli skracanie — nigdy mnożenie.

Dla rodzica

Jak wytłumaczyć dziecku mnożenie ułamków?

Dlaczego przy mnożeniu nie trzeba wspólnego mianownika, skoro przy dodawaniu trzeba?: Bo to dwa różne pytania. Dodawanie pyta „ile tego razem” — a żeby cokolwiek zsumować, kawałki muszą być tej samej wielkości, stąd wspólny mianownik. Mnożenie pyta „ile to jest część czegoś”: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ to połowa z jednej trzeciej. Niczego nie sumujemy, tylko kroimy gotowy kawałek jeszcze raz — i wtedy mianowniki mogą być zupełnie różne.
Dziecko nie wierzy, że po pomnożeniu wychodzi mniej. Jak to pokazać?: Kartką. Złóżcie ją na trzy części i zamalujcie jedną — to $\frac{1}{3}$ . Teraz złóżcie tę samą kartkę na pół w drugą stronę: zamalowany kawałek rozpadł się na dwa mniejsze, a cała kartka na sześć, więc zostaje $\frac{1}{6}$ . Zdanie, które warto powiedzieć zamiast wzoru: mnożenie przez liczbę mniejszą od jedynki nie powiększa, tylko bierze część — tak jak połowa pensji to mniej niż pensja.
Skąd wiadomo, że zadanie o dwóch trzecich z 12 jajek to mnożenie?: Bo słówko „z” jest tu ukrytym znakiem mnożenia: dwie trzecie z 12 zapisujemy $\frac{2}{3} \cdot 12$ . Warto to nazwać wprost, bo dziecko, które świetnie mnoży ułamki na tabliczce, potrafi stanąć nad zadaniem tekstowym tylko dlatego, że nikt mu nie powiedział, iż „z” znaczy „razy”.

Sprawdź się!

Oblicz: $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

Franek przed pomnożeniem $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}$ sprowadził oba ułamki do wspólnego mianownika 12. Co o tym powiesz?

Oblicz, skracając na krzyż: $\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15}$ . Podaj wynik w postaci nieskracalnej.

W klasie jest 20 uczniów. Trzy czwarte z nich ma rower. Ilu uczniów ma rower?

Kasia mnoży $12 \cdot \frac{5}{6}$ . Zanim policzysz: wynik będzie większy czy mniejszy od 12?

Następny temat

Dzielenie ułamków zwykłych