Kąty w wielokątach

około 12 minut

W tej lekcji1/17

Cześć! Znak STOP to ośmiokąt foremny. Ile stopni ma jeden jego kąt? Nie musisz go mierzyć — wystarczy wiedzieć, ile trójkątów mieści się w ośmiokącie. Dziś zobaczysz, skąd bierze się wzór na sumę kątów i dlaczego zadanie o kątach wielokąta wraca na egzaminie co roku, schowane w trapezie, równoległoboku albo znaku drogowym.

Suma kątów — jeden wzór do wszystkiego

Znasz to już z młodszych klas, więc tylko szybkie przypomnienie. Każdy wielokąt o $n$ bokach dzieli się przekątnymi z jednego wierzchołka na $n - 2$ trójkątów, a każdy trójkąt wnosi $180°$ . Stąd wzór na sumę kątów wewnętrznych:

Pięciokąt rozcięty przekątnymi z wierzchołka A na trzy trójkąty — stąd 3 razy 180 stopni

$S = (n - 2) \cdot 180°$

Liczba boków $n$	Suma kątów
3	$180°$
4	$360°$
5	$540°$
6	$720°$
8	$1080°$
10	$1440°$

Trzy warianty tego samego wzoru

Na egzaminie wzór pracuje w trzech wariantach:

- znam $n$ , liczę sumę — podstawiam,
- znam sumę, liczę $n$ — dzielę przez $180$ i dodaję $2$ ,
- znam wszystkie kąty oprócz jednego — odejmuję znane od sumy.

W wielokącie foremnym kąty są równe, więc jeden kąt to $\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$ . Bez tego słowa dzielić przez $n$ nie wolno.

Kąty w równoległoboku, który lubi egzamin

Suma kątów czworokąta to zawsze $360°$ , ale w szczególnych czworokątach kąty są ze sobą powiązane — i właśnie te powiązania sprawdza egzamin.

Kąt ostry równoległoboku — kąt sąsiedni dopełnia go do 180°, ma więc 125°

Równoległobok (a więc także romb):

- kąty sąsiednie sumują się do $180°$ (bo ramiona leżą na prostych równoległych),
- kąty przeciwległe są równe — i to wynika z poprzedniej własności: każdy z dwóch kątów przeciwległych dopełnia do $180°$ ten sam kąt sąsiedni, więc oba muszą być tej samej miary.

Kąt ostry $55°$ daje więc rozwarty $180° - 55° = 125°$ , a wszystkie cztery to $55°, 125°, 55°, 125°$ .

Kąty w trapezie liczymy wzdłuż ramienia

Trapez (ma parę boków równoległych):

Trapez ABCD: do 180 stopni sumują się kąty połączone RAMIENIEM, czyli B i C oraz A i D

- kąty przy tym samym ramieniu sumują się do $180°$ .

To wprost własność kątów przy prostych równoległych, którą znasz z klasy 7. Uwaga: chodzi o kąty przy ramieniu, a nie przy tej samej podstawie!

Trapez równoramienny dodatkowo ma równe kąty przy każdej podstawie — dwa dolne równe sobie i dwa górne równe sobie.

Kąt zewnętrzny — mniej znany, a wart poznania

Kąt zewnętrzny wielokąta to kąt przyległy do kąta wewnętrznego — powstaje, gdy przedłużysz jeden z boków. Kąt wewnętrzny i zewnętrzny przy tym samym wierzchołku zawsze dają razem $180°$ .

Jeśli kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma $120°$ , to zewnętrzny ma $180° - 120° = 60°$ .

Kąt zewnętrzny sześciokąta foremnego — dopełnia kąt wewnętrzny 120° do 180°

Suma kątów zewnętrznych to zawsze 360 stopni

A teraz zaskakujący fakt: suma kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego (po jednym przy każdym wierzchołku) wynosi $360°$ — niezależnie od liczby boków! Wyobraź sobie, że obchodzisz wielokąt dookoła: przy każdym wierzchołku skręcasz o kąt zewnętrzny, a po pełnym okrążeniu obróciłeś się w sumie o pełny obrót, czyli $360°$ .

Kąt zewnętrzny wielokąta foremnego

Dla wielokąta foremnego wszystkie kąty zewnętrzne są równe, więc jeden kąt zewnętrzny to po prostu:

Kąt zewnętrzny dziesięciokąta foremnego: 360° podzielone przez 10

$\frac{360°}{n}$

To daje błyskawiczny sposób na kąt wewnętrzny: dla dziesięciokąta foremnego kąt zewnętrzny to $360° : 10 = 36°$ , a wewnętrzny $180° - 36° = 144°$ — szybciej niż przez $(10-2) \cdot 180° : 10$ , choć wynik oczywiście ten sam.

Szukamy brakującego kąta pięciokąta

1
Zadanie w stylu egzaminacyjnym: cztery kąty pięciokąta mają miary 90°, 110°, 125° i 130°. Oblicz miarę piątego kąta.
$90°, \; 110°, \; 125°, \; 130°, \; ?$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Krok pierwszy: liczymy sumę wszystkich kątów pięciokąta ze wzoru.
$S = (5 - 2) \cdot 180° = 540°$
3
Krok drugi: dodajemy znane kąty. Warto dodawać sprytnie: 90 i 130 to 220, a 110 i 125 to 235.
$220 + 235 = 455$
4
Krok trzeci: brakujący kąt to różnica między sumą a tym, co już mamy.
$540° - 455° = 85°$
5
Piąty kąt ma 85°. Kontrola: wszystkie kąty muszą dać dokładnie 540.
$455 + 85 = 540 \; \checkmark$
6
Szybki test sensowności: 85° to kąt ostry, niewiele mniejszy od prostego — w pięciokącie z czterema kątami rozwartymi lub prostymi to zupełnie możliwe.
$85° < 90°$
Wskazówka
Brakujący kąt to zawsze suma minus reszta. Schemat jest ten sam dla każdej figury.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Trzy kąty czworokąta mają miary 78°, 102° i 95°. Ile stopni ma czwarty kąt?

78° + 102° + 95° + x = 360°

Pułapka! Mnożenie bez odjęcia dwójki

Błąd pierwszy: mnożenie $n \cdot 180$ bez odjęcia dwójki. Dla ośmiokąta wychodzi wtedy $1440°$ zamiast $1080°$ . Zawsze najpierw $n - 2$ , potem mnożenie.

Błąd drugi: dzielenie przez n bez słowa „foremny”

Błąd drugi: dzielenie sumy przez $n$ , gdy figura nie jest foremna. W zwykłym sześciokącie suma to $720°$ , ale pojedyncze kąty mogą mieć na przykład $90°$ i $170°$ . Dzielić wolno tylko przy słowie „foremny” w treści.

Błąd trzeci: kąty trapezu przy podstawie zamiast przy ramieniu

Błąd trzeci: kąty trapezu przy tej samej PODSTAWIE zamiast przy tym samym RAMIENIU. Do $180°$ sumują się kąty połączone ramieniem — jeden przy dolnej, drugi przy górnej podstawie. Dwa kąty przy tej samej podstawie na ogół nie dają $180°$ : w trapezie prostokątnym o kątach $90°, 90°, 60°, 120°$ przy dolnej podstawie stoją $90°$ i $60°$ , czyli razem tylko $150°$ .

Błąd czwarty: suma kątów zamiast jednego kąta

Błąd czwarty: pomylenie sumy kątów z miarą jednego kąta. Egzamin pyta raz o jedno, raz o drugie — a wśród odpowiedzi do wyboru zawsze czekają obie liczby. Dla sześciokąta foremnego: suma $720°$ , jeden kąt $120°$ . Przeczytaj pytanie dwa razy, zanim zaznaczysz.

Równoległobok z egzaminu — kąty z równania

1
Zadanie: kąt ostry równoległoboku jest o 40° mniejszy od kąta rozwartego. Oblicz miary kątów tego równoległoboku.
$\text{rozwarty} - \text{ostry} = 40°$
2
Oznaczamy kąt ostry przez x. Wtedy kąt rozwarty to x + 40.
$x, \quad x + 40°$
3
Kąty sąsiednie równoległoboku sumują się do 180°, bo jego boki leżą na prostych równoległych. Układamy równanie.
$x + (x + 40°) = 180°$
4
Rozwiązujemy: łączymy wyrazy z x.
$2x + 40° = 180°$
5
Odejmujemy 40 od obu stron i dzielimy przez 2.
$2x = 140°, \quad x = 70°$
6
Kąt ostry ma 70°, a rozwarty 70° + 40° = 110°. W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, więc komplet to: 70°, 110°, 70°, 110°.
$70° + 110° + 70° + 110° = 360° \; \checkmark$
7
Kontrola podwójna: różnica 110 - 70 = 40 zgadza się z treścią, a suma czterech kątów daje 360 — jak w każdym czworokącie.
$110° - 70° = 40° \; \checkmark$
Wskazówka
Kąty sąsiednie dają 180 — to najczęściej wykorzystywana własność równoległoboku na egzaminie.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ile stopni ma jeden kąt wewnętrzny dziewięciokąta foremnego?

\frac{(9-2) \cdot 180°}{9}

Ściąga do zapamiętania

Suma kątów wielokąta oraz kąty w równoległoboku i trapezie?

• Suma kątów wewnętrznych: $S = (n-2) \cdot 180°$
• Zadanie odwrotne: sumę podziel przez $180°$ i dodaj $2$ ; brakujący kąt to suma minus kąty znane
• Wielokąt foremny: jeden kąt to $\frac{S}{n}$ , kąt zewnętrzny to $\frac{360°}{n}$ , a suma kątów zewnętrznych zawsze wynosi $360°$
• Równoległobok: kąty przeciwległe równe, sąsiednie dają $180°$
• Trapez: kąty przy tym samym ramieniu dają $180°$ (nie przy podstawie!), a równoramienny ma równe kąty przy każdej podstawie

Sprawdź się!

Ile wynosi suma kątów wewnętrznych ośmiokąta?

Trzy kąty czworokąta mają miary 85°, 95° i 100°. Czwarty kąt ma miarę:

Kąt ostry równoległoboku ma 65°. Jaką miarę ma jego kąt rozwarty?

W trapezie kąt przy dolnej podstawie ma 74°. Kąt przy górnej podstawie, leżący przy tym samym ramieniu, ma miarę:

Jeden kąt wewnętrzny dwunastokąta foremnego ma miarę:

Suma kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego (po jednym przy każdym wierzchołku) wynosi:

Suma kątów pewnego wielokąta wynosi 1440°. Ile boków ma ten wielokąt?

Następny temat

Wielokąty foremne — kąt środkowy i okręgi