Długość i prędkość fali

około 15 minut

W tej lekcji1/13

Popatrz na fale, które motorówka zostawia na jeziorze. Grzbiety biegną jeden za drugim, w równiutkich odstępach, jak zawodnicy w sztafecie. Od razu nasuwają się dwa pytania: jak daleko jest grzbiet od grzbietu i jak szybko to wszystko pędzi? Dziś zmierzymy falę — poznasz długość fali oraz wzór tak krótki, że zmieści się w jednej linijce, a załatwia pół działu.

Długość fali, czyli krok fali

Z poprzedniej lekcji wiesz, że fala to rozchodzące się zaburzenie. Dziś ją zmierzymy — a do tego potrzebujemy nowej wielkości.

Długość fali to odległość między dwoma sąsiednimi grzbietami (albo dwiema sąsiednimi dolinami). Oznaczamy ją grecką literą lambda — $\lambda$ — i mierzymy w metrach, bo to zwykła odległość.

Na długość fali można też spojrzeć inaczej — i to spojrzenie zaraz nam się bardzo przyda.

Długość fali a okres

Długość fali to droga, jaką fala przebywa w czasie jednego okresu $T$ . Dlaczego? Źródło wykonuje jedno pełne drganie w czasie $T$ — i w tym czasie wysyła w ośrodek dokładnie jedną pełną górkę z dolinką. Nowy grzbiet rusza w drogę równo o $\lambda$ za poprzednim. Fala jest jak odciski stóp maszerującego olbrzyma: jeden krok na jedno drganie, a długość fali to długość tego kroku.

Długość fali i amplituda na wykresie fali

Na rysunku poniżej zaznaczone są obie wielkości opisujące kształt fali: długość fali $\lambda$ mierzona wzdłuż kierunku ruchu, od grzbietu do grzbietu, oraz znana Ci już amplituda $A$ — wysokość grzbietu nad położeniem równowagi.

Wzór, który wszystko łączy: v = λ · f

Skoro w czasie jednego okresu $T$ fala przesuwa się o jedną długość fali $\lambda$ , to jej prędkość policzymy jak każdą prędkość — droga podzielona przez czas:

$v = \frac{\lambda}{T}$

A ponieważ z lekcji o drganiach wiesz, że $f = \frac{1}{T}$ , ten sam wzór możemy zapisać wygodniej:

$v = \lambda \cdot f$

Przeczytaj go na głos: prędkość fali to długość kroku razy liczba kroków na sekundę. Jeśli fala robi 2 kroki na sekundę po 3 metry każdy, przebywa 6 metrów w każdej sekundzie — logiczne, prawda?

Prędkość zależy od ośrodka, nie od źródła

I teraz najważniejsza własność w tej lekcji: prędkość fali zależy od ośrodka, a nie od źródła. To ośrodek decyduje, jak szybko cząstki podają drganie sąsiadom:

Ośrodek	Prędkość dźwięku
powietrze	około 340 m/s
woda	około 1500 m/s
stal	około 5000 m/s

340 m/s

1500 m/s

5000 m/s

Szybsze drganie skraca falę, nie przyspiesza jej

Co się więc stanie, gdy źródło zacznie drgać szybciej? Fala nie przyspieszy — w tym samym ośrodku $v$ się nie zmienia. Zamiast tego skróci się długość fali: więcej grzbietów na sekundę musi się zmieścić w tym samym tempie marszu, więc grzbiety biegną gęściej. Iloczyn $\lambda \cdot f$ cały czas daje tę samą prędkość. Widać to na rysunku: dolna fala ma 2 razy większą częstotliwość i dlatego 2 razy krótszą długość fali.

Ten sam ośrodek, ta sama prędkość — różne częstotliwości

Zadanie: fala na sznurze, f = 2 Hz i λ = 3 m

1
Machasz końcem długiego sznura 2 razy na sekundę, a odległość między sąsiednimi grzbietami wynosi 3 m. Zapisujemy dane.
$f = 2\text{ Hz}, \quad \lambda = 3\text{ m}$
2
Wybieramy wzór. Prędkość fali to długość fali razy częstotliwość — bo w każdej sekundzie fala robi f kroków po λ metrów.
$v = \lambda \cdot f$
3
Podstawiamy liczby. Herc to jedno drganie na sekundę, więc metry razy herce dają metry na sekundę.
$v = 3\text{ m} \cdot 2\text{ Hz} = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$
4
Sprawdzenie drugą drogą: okres wynosi T = 1/f = 0,5 s. W czasie 0,5 s fala przebywa 3 m, więc w całej sekundzie — 6 m. Zgadza się.
$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{3\text{ m}}{0{,}5\text{ s}} = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$
Wskazówka
Oba wzory to jedna i ta sama myśl, więc muszą dać ten sam wynik. Jeśli dają różne — szukaj błędu w rachunkach.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Po jeziorze biegnie fala. Odległość między sąsiednimi grzbietami wynosi 2 m, a częstotliwość fali to 2 Hz. Z jaką prędkością biegnie fala? Wpisz wynik w m/s.

Pułapka! Długość fali to nie amplituda

Błąd pierwszy: mylenie długości fali z amplitudą. Obie wielkości mierzymy w metrach i obie opisują tę samą falę, więc łatwo je pomieszać. A mierzymy je w zupełnie różnych kierunkach:

Wielkość	Co mierzy	W którym kierunku
długość fali $\lambda$	odległość od grzbietu do grzbietu	wzdłuż kierunku ruchu fali
amplituda $A$	wysokość grzbietu nad położeniem równowagi	w poprzek kierunku ruchu fali

Długość fali to długość kroku olbrzyma, amplituda — jak wysoko podskakuje korek, gdy fala pod nim przechodzi. Fala może być malutka jak zmarszczka, a mieć długie fale — i odwrotnie: wysoka fala może mieć grzbiety gęsto obok siebie.

Pułapka! Szybsze machanie nie przyspiesza fali

Błąd drugi: szybsze drganie źródła przyspiesza falę. Nie! Machasz sznurem dwa razy szybciej, a zaburzenie biegnie po sznurze dokładnie w tym samym tempie — o prędkości decyduje ośrodek, czyli sam sznur i jego naciągnięcie. Szybsze machanie daje jedynie gęściej upakowane grzbiety, czyli krótszą falę. We wzorze $v = \lambda \cdot f$ rośnie $f$ , maleje $\lambda$ , a $v$ ani drgnie.

Grzmot po 3 sekundach — jak daleko jest burza?

1
Widzisz błyskawicę, a grzmot dociera do Ciebie dopiero po 3 sekundach. Światło biegnie tak szybko, że błysk widzisz praktycznie natychmiast — mierzymy więc czas podróży samego dźwięku.
$t = 3\text{ s}$
2
Grzmot to fala dźwiękowa w powietrzu, a prędkość w powietrzu wyznacza ośrodek: około 340 m/s. Nieważne, jak potężny był piorun — głośniejszy grzmot ma większą amplitudę, ale biegnie tak samo szybko.
$v = 340\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$
3
Liczymy drogę, jaką dźwięk przebył w 3 sekundy.
$s = v \cdot t = 340\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 3\text{ s} = 1020\text{ m} \approx 1\text{ km}$
4
Burza jest około kilometra od nas. Stąd praktyczna reguła: policz sekundy między błyskiem a grzmotem i podziel przez 3 — wynik to odległość burzy w kilometrach.
Wskazówka
6 sekund to 2 km, 9 sekund to 3 km. A gdy grzmot huknie niemal razem z błyskiem — czas do domu, burza jest tuż nad Tobą!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Dźwięk o częstotliwości 170 Hz rozchodzi się w powietrzu z prędkością 340 m/s. Jaka jest długość tej fali? Wpisz wynik w metrach.

Ściąga do zapamiętania

Co to jest długość fali i jak obliczyć prędkość fali?

DŁUGOŚĆ FALI λ to odległość między sąsiednimi grzbietami, mierzona w metrach WZDŁUŻ kierunku ruchu fali — to droga fali w czasie jednego okresu T. Nie mylić z AMPLITUDĄ, czyli wysokością grzbietu nad położeniem równowagi. WZÓR: v = λ · f (albo v = λ/T), bo w każdej sekundzie fala robi f kroków po λ metrów. PRĘDKOŚĆ FALI ZALEŻY OD OŚRODKA, nie od źródła: szybsze drganie źródła nie przyspiesza fali, tylko skraca długość fali — iloczyn λ · f zostaje stały. Dźwięk w powietrzu: około 340 m/s; sekundy między błyskiem a grzmotem podziel przez 3, a dostaniesz odległość burzy w kilometrach.

Sprawdź się!

Co to jest długość fali?

Fala biegnąca w prawo

Fala na sznurze ma długość $\lambda = 2$ m i częstotliwość $f = 3$ Hz. Z jaką prędkością się rozchodzi?

Dźwięk o częstotliwości 85 Hz biegnie w powietrzu z prędkością 340 m/s. Jaka jest długość tej fali?

Machasz końcem sznura dwa razy szybciej niż przed chwilą. Co się stanie z falą na sznurze?

Okres pewnej fali wynosi $T = 0{,}5$ s, a odległość między sąsiednimi grzbietami to 3 m. Jaka jest prędkość tej fali?

Następny temat

Fale poprzeczne i podłużne