Cechy podzielności przez 2, 5, 10 i 100

około 10 minut

W tej lekcji1/13

Masz 74 naklejki i chcesz je rozdać dwóm osobom po równo. Liczyć wszystkie po kolei? Nie trzeba! Wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę: 4. Jest parzysta, więc podział wyjdzie idealnie: $74 = 37 + 37$ . Dziś nauczysz się rozpoznawać podzielność liczby jednym rzutem oka — bez żadnego dzielenia!

Cecha podzielności, czyli test bez dzielenia

Cecha podzielności to szybki test: zamiast dzielić, patrzysz na końcówkę liczby i już znasz odpowiedź.

Liczby podzielne przez 2 — co druga na osi

Cztery cechy w jednej tabeli

Wszystkie cztery testy z tej lekcji mieszczą się w jednej tabeli.

Podzielność przez	Na co patrzysz	Warunek
$2$	ostatnia cyfra	jest parzysta: $0, 2, 4, 6$ lub $8$
$5$	ostatnia cyfra	to $0$ lub $5$
$10$	ostatnia cyfra	to $0$
$100$	dwie ostatnie cyfry	to $00$

Cztery liczby sprawdzone samą końcówką

1
Sprawdźmy na przykładach. Liczba $136$ kończy się cyfrą $6$ (parzystą), więc dzieli się przez $2$ .
$136 : 2 = 68$
2
Liczba $245$ kończy się cyfrą $5$ , więc dzieli się przez $5$ .
$245 : 5 = 49$
3
Liczba $380$ kończy się zerem, więc dzieli się przez $10$ .
$380 : 10 = 38$
4
Liczba $1400$ kończy się na $00$ , więc dzieli się przez $100$ . Zero dzielenia w słupku — sama obserwacja!
$1400 : 100 = 14$

Wszystkie kroki za Tobą!

Dlaczego to działa? Sekret pełnych dziesiątek

To nie magia — to sprytne rozbicie liczby. Każdą liczbę można podzielić na pełne dziesiątki i końcówkę:

$74 = 70 + 4$

Część $70$ to $7$ pełnych dziesiątek. A każda pełna dziesiątka dzieli się i przez $2$ , i przez $5$ , i przez $10$ — bo $10 = 2 \cdot 5$ . Skoro $70$ na pewno się podzieli, o wyniku decyduje tylko końcówka $4$ .

Końcówka 4 rozstrzyga oba testy

1
Czy $4$ dzieli się przez $2$ ? Tak — więc całe $74$ dzieli się przez $2$ .
$74 : 2 = 37$
2
Czy $4$ dzieli się przez $5$ ? Nie — więc $74$ nie dzieli się przez $5$ i zostaje reszta $4$ .
$74 = 14 \cdot 5 + 4$

Wszystkie kroki za Tobą!

Przy setkach patrzymy na dwie cyfry

Z setkami jest tak samo: $1400 = 14$ setek $+ \ 00$ , a każda pełna setka dzieli się przez $100$ . Dlatego przy podzielności przez $100$ patrzymy na dwie ostatnie cyfry — one są resztą po odcięciu pełnych setek.

tysiące

1j.

jedności

4s.

0dz.

0j.

1400 to 14 pełnych setek i końcówka 00 s. = setki · dz. = dziesiątki · j. = jedności

Testujemy liczbę $3640$ — cztery pytania, jedno spojrzenie

1
Czy $3640$ dzieli się przez $2$ ? Ostatnia cyfra to $0$ — parzysta. Tak!
$3640 : 2 = 1820$
2
Czy dzieli się przez $5$ ? Ostatnia cyfra $0$ spełnia warunek (zero lub piątka). Tak!
$3640 : 5 = 728$
3
Czy dzieli się przez $10$ ? Ostatnia cyfra to $0$ . Tak!
$3640 : 10 = 364$
4
Czy dzieli się przez $100$ ? Dwie ostatnie cyfry to $40$ , a nie $00$ . Nie — zostaje reszta $40$ .
$3640 = 36 \cdot 100 + 40$
Wskazówka
Cztery odpowiedzi w kilka sekund, a ja nie podzieliłem ani razu — tylko patrzyłem na końcówkę!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Spośród liczb $85$ , $132$ i $500$ tylko jedna dzieli się i przez $2$ , i przez $5$ . Wpisz tę liczbę.

Pułapka! Przez 5 to NIE to samo co przez 10

Weź liczbę $35$ . Dzieli się przez $5$ , bo $35 : 5 = 7$ . Czy dzieli się też przez $10$ ? Nie! $35 : 10$ to $3$ i reszta $5$ — trzech pełnych dziesiątek i jeszcze coś zostaje.

Skąd ta różnica? Bo $10 = 2 \cdot 5$ . Liczba podzielna przez $10$ musi dzielić się przez $2$ i przez $5$ jednocześnie. A $35$ kończy się piątką — cyfrą nieparzystą — więc test na dwójkę oblewa.

Zapamiętaj kierunek: każda liczba podzielna przez $10$ dzieli się też przez $5$ (i przez $2$ ), ale w drugą stronę to nie działa — $15$ , $35$ czy $105$ dzielą się przez $5$ , a przez $10$ już nie.

Wielkie liczby? Żaden problem!

1
Czy $4578$ dzieli się przez $2$ ? Ostatnia cyfra $8$ jest parzysta — tak. Przez $5$ ? Nie, bo na końcu nie ma $0$ ani $5$ .
$4578 : 2 = 2289$
2
Czy $63\,205$ dzieli się przez $5$ ? Kończy się piątką — tak. Przez $2$ nie, bo $5$ to cyfra nieparzysta.
$63\,205 : 5 = 12\,641$
3
Czy $9100$ dzieli się przez $100$ ? Dwie ostatnie cyfry to $00$ — tak. To dokładnie $91$ pełnych setek.
$9100 : 100 = 91$
4
Im większa liczba, tym więcej zyskujesz: końcówka zdradza wszystko, a rozmiar liczby nie ma znaczenia!
$725\,364\,190 : 10 = 72\,536\,419$

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Klasa zebrała na wycieczkę $4300$ zł i chce wymienić całą kwotę na banknoty stuzłotowe. Czy się uda? Jeśli tak, wpisz, ile banknotów otrzyma.

Ściąga do zapamiętania

Po czym poznasz podzielność przez $2$ , $5$ , $10$ i $100$ — i dlaczego $35$ oblewa test dziesiątki?

Patrzysz wyłącznie na koniec liczby, bez żadnego dzielenia.
• Przez $2$ — ostatnia cyfra parzysta ( $0, 2, 4, 6, 8$ ): $136 : 2 = 68$ .
• Przez $5$ — ostatnia cyfra $0$ lub $5$ : $245 : 5 = 49$ .
• Przez $10$ — ostatnia cyfra $0$ : $380 : 10 = 38$ .
• Przez $100$ — dwie ostatnie cyfry $00$ : $1400 : 100 = 14$ .
• Dlaczego działa: każda pełna dziesiątka dzieli się przez $2$ , $5$ i $10$ (bo $10 = 2 \cdot 5$ ), więc o wyniku decyduje sama końcówka.
• Pułapka: podzielność przez $5$ to nie to samo co przez $10$ . Liczba $35$ dzieli się przez $5$ , ale nie przez $10$ — przez $10$ dzieli się tylko to, co przechodzi test dwójki i piątki naraz.

Sprawdź się!

Która z liczb dzieli się przez $2$ ?

Liczba $265$ dzieli się…

Która z liczb dzieli się przez $10$ ?

Która z liczb dzieli się przez $100$ ?

Liczba kończy się cyfrą $0$ . Co wiemy o niej NA PEWNO?

Następny temat

Cechy podzielności przez 3 i 9

Cecha podzielności, czyli test bez dzielenia

Cztery cechy w jednej tabeli

Cztery liczby sprawdzone samą końcówką

Dlaczego to działa? Sekret pełnych dziesiątek

Końcówka 4 rozstrzyga oba testy

Przy setkach patrzymy na dwie cyfry

Testujemy liczbę 364036403640 — cztery pytania, jedno spojrzenie

Pułapka! Przez 5 to NIE to samo co przez 10

Wielkie liczby? Żaden problem!

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!

Testujemy liczbę $3640$ — cztery pytania, jedno spojrzenie