Ile dzielników ma liczba pierwsza?

Dowolną liczbę, byle nieparzystą

Którą liczbą jest $1$?

I pierwszą, i złożoną naraz

Dlaczego $2$ jest liczbą pierwszą, choć jest parzysta?

Bo jej dzielniki to $1$ i $2$, czyli dokładnie dwa

Bo liczby parzyste zawsze są pierwsze

Bo dzieli się przez $1$, $2$ i $4$

Liczby pierwsze i złożone — matematyka klasa 5

Policz $7 \cdot 13$ . Trzy sekundy, prawda? A teraz odwrotnie: znajdź dwie liczby, które pomnożone dają 91. Dużo trudniej — i to przy takiej małej liczbie. Właśnie na tej różnicy opiera się szyfrowanie w internecie: mnożyć potrafi każdy, rozkładać z powrotem prawie nikt. Dziś poznasz liczby, których rozłożyć się w ogóle nie da — atomy matematyki.

Dwa dzielniki albo więcej — cała tajemnica

Weź dowolną liczbę naturalną i wypisz wszystkie jej dzielniki — czyli liczby, przez które dzieli się bez reszty. Okaże się, że liczby dzielą się na dwie rodziny.

12 = 3 · 4

7

Dwanaście kropek układa się w pełny prostokąt, siedem nigdy — dlatego 7 jest pierwsza

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i samą siebie. Nic więcej.

Liczba złożona ma dzielników więcej niż dwa — da się ją rozłożyć na mniejsze kawałki.

Wypisujemy dzielniki czterech liczb

1
Liczba $2$ ma tylko dwa dzielniki, więc jest pierwsza.
$2: \; 1, \, 2$
2
Liczba $7$ tak samo — nic więcej się w niej nie mieści.
$7: \; 1, \, 7$
3
Liczba $9$ przegrywa przez tę trójkę w środku. Trzy dzielniki, więc złożona.
$9: \; 1, \, 3, \, 9 \;\Rightarrow\; 9 = 3 \cdot 3$
4
Liczba $12$ ma ich aż sześć. Liczba $7$ nie ma takiego rozbicia — próbuj, ile chcesz.
$12: \; 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 6, \, 12$
Wskazówka
Nie zgaduj, czy liczba jest pierwsza. Wypisz dzielniki i policz je.

Wszystkie kroki za Tobą!

Dziesięć liczb pierwszych do trzydziestu

Oto wszystkie liczby pierwsze do $30$ :

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

2

3

5

7

11

13

Liczby pierwsze do 20 — dzielą się tylko przez 1 i przez siebie

$2, \ 3, \ 5, \ 7, \ 11, \ 13, \ 17, \ 19, \ 23, \ 29$

Jest ich dziesięć i naprawdę warto znać je na pamięć — będą wracać przy skracaniu ułamków, przy NWD i NWW, właściwie wszędzie.

Dwie liczby, które trzeba zapamiętać osobno: 1 i 2

Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona.

Liczba $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą

To brzmi dziwnie, ale wynika wprost z cech podzielności, które już znasz. Każda liczba parzysta dzieli się przez $2$ . Weź na przykład $18$ : jej dzielnikami są $1$ , $2$ , $18$ i jeszcze kilka innych — to już co najmniej trzy, więc liczba jest złożona.

I tak jest z każdą parzystą liczbą większą od $2$ : ma $1$ , ma siebie samą, a do tego zawsze ma dwójkę. Trzy dzielniki albo więcej — złożona.

Sama dwójka wywija się z tej pułapki, bo jej dzielnik $2$ to ona sama. Zostają dokładnie dwa dzielniki: $1$ i $2$ . Dlatego $2$ jest pierwsza — i jako jedyna parzysta.

Sito Eratostenesa — wyławiamy liczby pierwsze do $30$

1
Wypisz wszystkie liczby od $2$ do $30$ . Jedynki nie bierzemy — pamiętasz, ona nie należy do żadnej rodziny.
$2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \ldots, 29, 30$
2
Zakreśl $2$ (jest pierwsza) i wykreśl wszystkie jej wielokrotności, czyli liczby parzyste. Rozpoznasz je po ostatniej cyfrze.
$4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30$
3
Pierwsza nieskreślona liczba to $3$ — zakreśl ją i wykreśl jej wielokrotności. Część już zniknęła przy dwójkach, więc naprawdę wypadają tylko cztery nowe.
$9, 15, 21, 27$
4
Kolejna ocalała liczba to $5$ . Zakreśl ją i wykreśl wielokrotności. Tu zostaje już tylko jedna nowa ofiara — $25$ .
$25$
5
Teraz $7$ . Jej wielokrotności $14$ , $21$ i $28$ dawno wykreśliliśmy, a następna, $49$ , jest większa od $30$ . Nic nowego nie wypada — sito przestało łapać.
$7 \cdot 7 = 49 > 30$
6
Wszystko, co zostało na sicie, to liczby pierwsze. Policz: jest ich dokładnie dziesięć.
$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$
Wskazówka
To wymyślił Eratostenes ponad dwa tysiące lat temu — i do dziś nikt nie wymyślił nic prostszego.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Spośród liczb $21$ , $23$ , $25$ i $27$ dokładnie jedna jest pierwsza. Wpisz ją.

Pułapka! Jedynka nie jest liczbą pierwszą

To dwa najczęstsze potknięcia w całym temacie i oba biorą się z pośpiechu.

Błąd pierwszy: $1$ jest liczbą pierwszą. Wygląda niewinnie — przecież nie da się jej rozłożyć. Ale definicja mówi wyraźnie: dokładnie dwa dzielniki. Jedynka ma tylko jeden, bo $1$ i ona sama to ta sama liczba. Dlatego nie jest pierwsza. Nie jest też złożona, bo do tego trzeba mieć więcej niż dwa dzielniki. Jedynka nie należy do żadnej z tych rodzin.

Błąd drugi: dwójka nie jest złożona

Błąd drugi: $2$ jest złożona, bo jest parzysta. To skrót myślowy: parzysta, czyli dzieli się przez $2$ , czyli ma dodatkowy dzielnik. Tylko że dla dwójki ten dodatkowy dzielnik to ona sama! Wypisz je: $1$ i $2$ . Dokładnie dwa. Liczba pierwsza.

Sprawdzaj zawsze tak samo: wypisz i policz

Sprawdzaj zawsze tak samo — wypisz dzielniki i policz je:

Liczba	Dzielniki	Ile	Wniosek
$1$	$1$	$1$	ani pierwsza, ani złożona
$2$	$1, 2$	$2$	pierwsza
$4$	$1, 2, 4$	$3$	złożona

Jak sprawdzić dużą liczbę i jak ją rozłożyć

1
Czy $91$ jest pierwsza? Dzielimy po kolei przez liczby pierwsze. Przez $2$ nie (jest nieparzysta), przez $3$ nie (suma cyfr $9 + 1 = 10$ ), przez $5$ nie (nie kończy się na $0$ ani $5$ ). Próbujemy $7$ — i trafiamy!
$91 : 7 = 13$
2
Skoro $91 = 7 \cdot 13$ , to oprócz $1$ i $91$ ma jeszcze dzielniki $7$ i $13$ . Cztery dzielniki, czyli liczba złożona.
$91 = 7 \cdot 13$
3
A $97$ ? Przez $2$ , $3$ i $5$ się nie dzieli. Przez $7$ też nie, bo $7 \cdot 13 = 91$ , a $7 \cdot 14 = 98$ — przeskakujemy nad $97$ . Zostaje $11$ : $11 \cdot 8 = 88$ , $11 \cdot 9 = 99$ , znowu pudło.
$11 \cdot 9 = 99 > 97$
4
Kiedy przestać? Gdy iloczyn dzielnika przez samego siebie przekroczy badaną liczbę. Tu $11 \cdot 11 = 121$ , a to więcej niż $97$ — dalej nic już nie znajdziemy. Zatem $97$ jest pierwsza.
$11 \cdot 11 = 121 > 97$
5
Teraz rozkład na czynniki pierwsze. Bierzemy $60$ i dzielimy przez najmniejszą pasującą liczbę pierwszą, aż zostanie sama jedynka: $60 : 2 = 30$ , potem $30 : 2 = 15$ , potem $15 : 3 = 5$ , a $5$ jest już pierwsza.
$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$
6
Sprawdzenie: $2 \cdot 2 = 4$ , dalej $4 \cdot 3 = 12$ , a na koniec $12 \cdot 5 = 60$ . Zgadza się! Każdą liczbę złożoną da się tak rozłożyć — i to tylko na jeden sposób.
$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Rozłóż liczbę $84$ na czynniki pierwsze, a potem wpisz największy z tych czynników.

Ściąga do zapamiętania

Czym różni się liczba pierwsza od złożonej i gdzie w tym wszystkim są $1$ i $2$ ?

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i samą siebie. Liczba złożona ma ich więcej. Pierwsze do $30$ : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$ . Uwaga: $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona (ma tylko jeden dzielnik), a $2$ to jedyna parzysta liczba pierwsza. Każdą złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze, np. $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ . Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele — udowodnił to Euklides.

Dwa dzielniki albo więcej — cała tajemnica

Wypisujemy dzielniki czterech liczb

Dziesięć liczb pierwszych do trzydziestu

Dwie liczby, które trzeba zapamiętać osobno: 1 i 2

Liczba 222 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą

Sito Eratostenesa — wyławiamy liczby pierwsze do 303030

Pułapka! Jedynka nie jest liczbą pierwszą

Błąd drugi: dwójka nie jest złożona

Sprawdzaj zawsze tak samo: wypisz i policz

Jak sprawdzić dużą liczbę i jak ją rozłożyć

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!

Liczba $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą

Sito Eratostenesa — wyławiamy liczby pierwsze do $30$